origami

Waar denkt u aan als u aan origami denkt? Aan kleine vierkante gekleurde papiertjes gevouwen in allerlei leuke figuurtjes zoals een kraanvogel of een bloem? U denkt vast niet aan extreem ingewikkelde structuren bestaande uit honderden vouwen, laat staan aan enorme ruimtetelescopen, hartstents of airbags. Toch heeft dit allemaal verband met elkaar; de sleutel daartoe is wiskunde.

Origami is een eeuwenoude Japanse vouwkunst die bestaat uit het vouwen van onversneden vierkante papiertjes. De meeste mensen kennen de simpele vorm van deze kunst, waarbinnen men met gekleurde papiertjes eenvoudige figuren vouwt. Vooral kinderen voeren deze simpele vorm uit als vermaak. Maar origami is door de jaren heen geëvolueerd tot een heuse kunststroom. Zo zijn er tegenwoordig kunstenaars die ingewikkelde structuren vouwen zoals bijvoorbeeld een levensgrote ratelslang met maar liefst duizend(!) schubben.

Vouwpatronen
Binnen de origami draait het allemaal om vouwpatronen; als u het vouwpatroon van een willekeurig figuur weet, kunt u dit vouwen. Vouwpatronen zijn niet willekeurig te tekenen, deze patronen moeten aan vier regels voldoen. Ten eerste voldoet een vouwpatroon aan tweekleurigheid, elk vouwpatroon is met twee kleuren in te kleuren zonder dat twee aangrenzende vakken dezelfde kleur krijgen (zie hieronder, het eerste figuur van links). Daarnaast verandert het aantal bergvouwen en het aantal dalvouwen op een toppunt altijd per twee. Dus als er op een toppunt bijvoorbeeld vier bergvouwen bij elkaar komen, dan komen er op dit toppunt twee of zes dalvouwen samen (zie het tweede figuur van links, hieronder). Als u de hoeken rondom een toppunt nummert dan zullen alle hoeken met een even nummer samen een rechte lijn vormen en alle hoeken met een oneven nummer ook samen een rechte lijn vormen (zie het derde figuur van links, hieronder). En tenslotte kan een blad nooit door een vouw heen steken. Een vouwpatroon dat aan deze regels voldoet kunt u vouwen met een vierkant papiertje zonder te snijden.

Afbeelding afkomstig uit het filmpje op Ted.com

Afbeelding afkomstig uit het filmpje op Ted.com

Cirkelfragmenten
Wanneer u een origamifiguur bekijkt, zult u zien dat het figuur uit verschillende flappen bestaat. Zo bestaat een simpele kraanvogel bijvoorbeeld uit twee flappen voor de vleugels, één voor de staart en één voor de nek en het hoofd. Een flap krijgt u door een stuk papier meerdere keren dubbel te vouwen. Wanneer u een dergelijke flap weer uitvouwt, ziet u dat het precies een cirkelfragment van het papier in beslag neemt (zie de afbeelding hieronder). Voor elke flap van een bepaald origamifiguur moet er dus een cirkelfragment beschikbaar zijn in het papier om het figuur te vouwen. Om een vouwpatroon te ontwerpen is het een kwestie van cirkels in een vlak passen zodat er voor elke flap een cirkelfragment papier is zonder dat de cirkels overlappen. Cirkels in een vlak passen: dat klinkt misschien eenvoudig maar in de werkelijkheid is dit een ingewikkelde bezigheid waar zelfs een volledige wiskundige studie, genaamd ‘circle packing’, aan gewijd is.

Afbeelding afkomstig uit het filmpje op Ted.com

Afbeelding afkomstig uit het filmpje op Ted.com

Computerprogramma
Door de vier regels voor de vouwpatronen van origami samen met de wiskundige theorieën van circle packing te implementeren, heeft de origamikunstenaar en wiskundige Robert J. Lang een computerprogramma ontworpen dat het mogelijk maakt om elk willekeurig figuur te vouwen met origami. Dit computerprogramma past de wiskunde achter circle packing toe op ingevoerde figuren en berekent zo het cirkelpatroon voor het bepaalde figuur. Vervolgens bepaalt het programma het vouwpatroon door lijnen door de cirkels te trekken die onderling voldoen aan de regels voor de vouwpatronen van origami. Dit levert het vouwpatroon voor het figuur op waarmee het figuur gevouwen kan worden. Het programma is te downloaden via de website van Robert J. Lang.

Toepassingen
Het vouwen van origami is niet alleen toepasbaar voor vermaak of voor kunst. In veel disciplines is het nuttig om grote oppervlakten op te kunnen vouwen, bijvoorbeeld als deze klein vervoerd moeten worden. Zo hebben wetenschappers van het Lawrence Livermore National Lab de vouwtechnieken van origami toegepast om een enorme telescoop de ruimte in te krijgen. Door middel van de theorieën uit de origami hebben ze de telescoop opgevouwen zodat deze vervoerd kon worden met een raket. Zodra de telescoop de ruimte bereikt had, vouwde deze zichzelf uit. Dr. Zhong You van Universiteit Oxford paste het concept toe bij het ontwerpen van een hartstent. Eenmaal op zijn plek moet de hartstent een geblokkeerde ader open houden, maar om op zijn plek te komen moet de stent veel compacter zijn. Door middel van een origamipatroon kan de hartstent opgevouwen worden om zo door de bloedvaten op zijn plek te komen (zie hieronder). Ook airbagontwerpers hebben profijt van de theorieën achter de origami. Om de airbags te simuleren op een computer moesten de ontwerpers uitzoeken hoe een airbag vlak te maken is. De theorieën van de origami boden hier uitkomst.

Prototype van een uitvouwbare hartstent. Afbeelding: International Arts & Artists (via Flickr.com).

Prototype van een uitvouwbare hartstent. Afbeelding: International Arts & Artists (via Flickr.com).

Hoewel origami is begonnen als een kunstvorm, kent het door het gebruik van wiskundige theorieën nu vele toepassingen. Met haar toepassingen in onder meer de ruimtewetenschap en de medische wereld is origami onmisbaar geworden in de wereld van nu. Misschien komt er zelfs een dag dat origami een leven zal redden.

Dit artikel is geschreven door Karlijn Ballemans (24). Ze studeert Science Education and Communication aan de Universiteit Utrecht en schreef bovenstaand artikel voor het vak Public Science Communication with Multimedia