Niks zo eerlijk als een muntje opgooien, toch? Schijn bedriegt! De kans dat deze op kop of munt valt, is te manipuleren en helemaal niet fifty-fifty.

Al een lange tijd zijn munten een belangrijk onderdeel van willekeurigheid. Gezelschapsspelletjes zitten vol met situaties waarbij een munt opgegooid of een dobbelsteen gerold moet worden. Ook in sport komt een munt opgooien voor: denk maar aan grote sportwedstrijden, waar met behulp van een munt wordt bepaald welk team welke kant van het veld neemt. Dit kan nadelige gevolgen hebben voor de wedstrijd: tegenwind, zon in de ogen, et cetera. Het is dan ook van groot belang dat de kans op kop of munt allebei even groot is. Maar is dit ook zo? Zou je de kans op kop of munt niet op een manier kunnen manipuleren?

Heel wat wedstrijden beginnen ermee: het opwerpen van een muntje.

Heel wat wedstrijden beginnen ermee: het opwerpen van een muntje.

Gewicht

In eerder onderzoek is al aangetoond dat een muntje op zijn zijkant laten draaien geen eerlijke manier is om een beslissing te nemen. Dit doe je als volgt: houd een geldstuk met de zijkant op de tafel vast en sla er met een vinger tegen aan zodat hij draait op de tafel. Uiteindelijk zal de munt vallen op kop of munt. Het klinkt alsof er sprake is van een fifty-fifty situatie, maar het tegendeel is waar. Sterker nog: sommige munten hebben wel 80% kans om op een bepaalde kant te landen! Een munt is namelijk zwaarder aan één zijde, omdat beide zijden andere tekeningen hebben ingegraveerd. Deze zwaardere kant van het geldstuk zal vaker onder komen te liggen dan de lichtere kant. De Duitse twee euromunt bijvoorbeeld zal vaker met munt boven landen: gemiddeld in vijf van de acht gevallen.
Gewicht heeft echter geen rol als het gaat om een munt opgooien. Wetenschappers trokken deze conclusie na een uitgebreid experiment dat zij in een schoolklas hebben uitgevoerd. Toch is de kans op kop of munt wel goed te manipuleren op een andere manier. Dat blijkt uit een onderzoek van het team onder leiding van Persi Diaconis: wiskundige en goochelaar die muntjes opgooien erg serieus neemt. In zijn onderzoek laat hij zien hoe het opgooien van een geldstuk hogere wis- en natuurkunde vereist. Hij trekt uit dit kansexperiment meerdere conclusies, waarvan er hier twee besproken zullen worden.

‘Een muntstuk opgooien heeft weinig te maken met kansen en is in plaats daarvan afhankelijk van een aantal natuurkundige factoren’

De oneerlijke machine

Diaconis en zijn team maakten een machine die voor iedere worp kop gooit, terwijl het muntje wel rondtolt. Hiermee concludeerden zij dat een geldstuk opgooien weinig met kansen te maken heeft en in plaats daarvan afhankelijk is van een aantal natuurkundige factoren. Zo blijkt de kant die omhoog ligt invloed te hebben, maar ook de snelheid waarmee wordt opgegooid en de hoek waarop de munt omhoog wordt gegooid.

Een muntje opgooien. Afbeelding: Филип Романски (via Wikimedia Commons).

Een muntje opgooien. Afbeelding: Филип Романски (via Wikimedia Commons).

De mens

Maar hoe belangrijk is dit resultaat voor de mens? Wij zijn immers geen robots of apparaten. Toch kunnen ook mensen een munt zó opgooien, dat er een grotere kans is op een bepaalde zijde. Dit blijkt uit een onderzoek van Canadese wetenschappers. Zij vroegen dertien mensen om meer kop dan munt te gooien in 300 worpen, en het lukte hen alle dertien. Elk hadden ze hun eigen technieken, maar hier is in het onderzoek niet op ingegaan. Wat dit wel betekent, is dat de mens wel degelijk invloed kan hebben op het gooien van kop of munt op een manier.
Een goochelaar in Las Vegas kan een munt 6 meter hoog opgooien en zonder fout voorspellen of het kop of munt zal worden. En dit is niet omdat hij een bijzondere munt heeft! Zijn bijzondere techniek laat de munt cirkels draaien en op en neer bewegen als een frisbee, zonder dat de munt een echte “flip” maakt. Je kan ook denken aan hoe een pizza wordt gemaakt: dezelfde draaiende techniek wordt gebruikt bij het opgooien. Toch lijkt het alsof de munt echt aan het rondtollen is: door het snelle op en neer bewegen van een klein voorwerp is het verschil met het blote oog moeilijk te zien. Op deze manier weet hij dus altijd goed te voorspellen welke kant boven zal liggen.

Toch niet 50% kans

In hetzelfde onderzoek beweert het team van Diaconis nog iets anders dat consequenties heeft voor mensen die wel eens een muntje opgooien. Zij beweren dat de zichtbare positie van kop of munt ook van belang is. Als je kop ziet voordat de munt wordt opgegooid, is er een kans van ongeveer 51% dat hij uiteindelijk weer op kop zal landen. Uiteraard geldt dit ook vice versa. Gemiddeld zal dus 51 van de 100 keer een munt op dezelfde zijde vallen als waar hij begon.

Alhoewel het maar een heel klein verschil is tussen kop of munt, is de kans dus niet even groot. Probeer dus altijd te kijken welke zijde van de munt boven ligt voordat het muntje wordt opgegooid!

Dit artikel is geschreven door Wouter van der Klis (22). Hij studeert Science Education and Communication aan de Universiteit van Utrecht en doet dit om later voor de klas te kunnen staan als volwaardig wiskundedocent. Hij zoekt graag naar de mooie wiskunde op plekken waar je het het minst verwacht en hij vertelt hier dan graag over.